Площадь квадрата Презентация по геометрии ученицы 8 «В» класса Жиряковой Марии. Площадь - численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими. Аксиомы площади Площадь единичного квадрата равна 1. Площадь аддитивна. Площадь неотрицательна. аддитивность площади означает, что площадь целого равен сумме …составляющих его частей. Докажем, что площадь квадрата со стороной а равна а2. 1 случай. а=1/n, где n- нат.число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n2 равных квадратов, как на рисунке. Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата... Сторона каждого маленького квадрата равна…, т.е. равна а. Итак, S= 1/n2 = (1/n)2 =a2 (1) Случай 2. Пусть теперь а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой, так же число а может быть целым, и тогда n=0. Тогда число квадратиков на каждой стороне m=а*10n . Разобьем данный квадрат со стороной а на m2 равных квадратов, как на рисунке. При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна а/m=a/a*10n =1/10n По формуле(1) площадь маленького квадрата равна (1/10n)2 . Следовательно, площадь данного квадрата равна m2 * (1/10n)2 =(m/10n)2= (a*10n/10n)2= a2 . Пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число аn, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с(n+1)-го. Так как число а отличается от аn не более чем на 1/10n, то аn ≤ а ≤ аn + 1/10n , откуда аn2 ≤ а2 ≤ (аn + 1/10n)2 . (2) Площадь данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной аn и площадью квадрата со стороной аn + 1/10n аn2 ≤ S ≤ (аn + 1/10n)2 (3) аn а аn + 1/10n Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10n , будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (аn + 1/10n)2 будет сколь угодно мало отличаться от числа аn2 . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа а2 . Следовательно, эти числа равны: S= а2 , Ч.Т.Д. Теорема Пифагора. Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Формулировки Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника. Обратная теорема Пифагора: Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Доказательства По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Формула площади прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон S = a · b
где S - Площадь прямоугольника,
a, b - длины сторон прямоугольника.
Формулы площади трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту
где S - Площадь трапеции,
a, b - длины основ трапеции,
c, d - длины боковых сторон трапеции,
Билет № 6. Вопрос 1.
Корнем квадратного уравнения ax2+bx+c=0 называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен ax2+bx+c обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трёхчлена.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ax2+bx+c=0 - это такое значение x, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство 0=0.
Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Алгоритм решения неполных квадратных уравнений.
Примеры
Билет № 6. Вопрос 2.
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов - прямой.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c2=a2+b2.
Известны очень многие доказательства теоремы с разными математическими методами, но одни из самых наглядных связаны с площадями.
1. Построим квадрат, сторона которого равна сумме катетов данного треугольника a+b. Площадь квадрата равна 2 (a+b):
2. Если провести гипотенузы c, очевидно, что они образовали квадрат внутри построенного квадрата.
Стороны четырёхугольника равны c, а углы - прямые, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, то угол четырёхугольника также равен 90°, потому что вместе все три угла дают 180°.
Следовательно, площадь квадрата состоит из четырёх площадей равных прямоугольных треугольников 4⋅ =2ab и площади квадрата c 2 , образованного гипотенузами: S=c 2 +2аb
3. На двух сторонах квадрата поменяем местами отрезки a и b, при этом длина стороны квадрата не меняется.
Теперь площадь квадрата можем сложить из двух площадей квадратов, образованных катетами a и b a 2 +b 2 и двух площадей прямоугольников аb + аb: S=a 2 +b 2 +2ab
4. Из этого следуют выводы: S=c 2 +2аb и S=a 2 +b 2 +2ab
Площадь четырех треугольников составляет и c 2 =a 2 +b 2 , что и является одним из доказательств теоремы Пифагора.
Обрати внимание!
Обратная теорема используется как признак прямоугольного треугольника.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.
Является ли треугольник со сторонами 6 см, 7 см и 9 см прямоугольным?
92=62+72;81≠36+49, значит, этот треугольник не прямоугольный.
Является ли треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см прямоугольным?
Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:
132=122+52;169=144+25, значит, этот треугольник прямоугольный.
Билет № 7. Вопрос 1.
Для построения графика функции дадим, как обычно, независимой переменной х несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при х < 0 выражение не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у. Разумеется, мы будем давать х такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня.
Итак, мы составили таблицу значений функции:
| x | 6,25 | ||||
| y | 2,5 |
Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (0;3) на координатной плоскости. Они располагаются некоторой линии, начертим ее. Получили график функции . Обратите внимание: график касается оси у в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы у = х2, можно без труда с его помощью построить график функции , ведь это - ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.
Свойства функции
Описывая свойства этой функции, мы, как обычно, будем опираться на ее геометрическую модель - ветвь параболы (на рисунок).
1. Область определения функции - луч }
Загрузка...
