При выполнении графических работ приходится решать многие задачи на построение. Наиболее встречающиеся при этом задачи — деление отрезков прямой, углов и окружностей на равные части, построение различных сопряжений.

Деление окружности на равные части с помощью циркуля

Пользуясь радиусом, нетрудно разделить окружность и на 3, 5, 6, 7, 8, 12 равных участков.

Деление окружности на четыре равные части.

Штрихпунктирные центровые линии, проведенные перпендикулярно одна другой, делят окружность на четыре равные части. Последовательно соединив их концы, получим правильный четырехугольник (рис. 1).

Рис.1 Деление окружности на 4 равные части.

Деление окружности на восемь равных частей.

Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, дуги, равные четвертой части окружности, делят пополам. Для этого из двух точек, ограничивающих четверть дуги, как из центров радиусов окружности выполняют засечки за ее пределами. Полученные точки соединяют с центром окружностей и на пересечении их с линией окружности получают точки, делящие четвертные участки пополам, т. е. получают восемь равных участков окружности (рис. 2).

Рис.2. Деление окружности на 8 равных частей.

Деление окружности на шестнадцать равных частей.

Разделив циркулем дугу, равную 1/8, на две равные части, нанесём засечки на окружность. Соединив все засечки, отрезками прямых, получим правильный шестнадцатиугольник.

Рис.3. Деление окружности на 16 равных частей.

Деление окружности на три равные части.

Чтобы разделить окружность радиуса R на 3 равные части, из точки пересечения центровой линии с окружностью (например, из точки А) описывают как из центра дополнительную дугу радиусом R. Получают точки 2 и 3. Точки 1, 2, 3 делят окружность на три равные части.

Рис. 4. Деление окружности на 3 равные части.

Деление окружности на шесть равных частей. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу окружности (рис. 5.).

Для деления окружности на шесть равных частей надо из точек 1 и 4 пересечения центровой линии с окружностью сделать на окружности по две засечки радиусом R , равным радиусу окружности. Соединив полученные точки отрезками прямых, получим правильный шестиугольник.

Рис. 5. Деление окружности на 6 равных частей

Деление окружности на двенадцать равных частей.

Чтобы разделить окружность на двенадцать равных частей, надо окружность поделить на четыре части взаимно перпендикулярными диаметрами. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью А , В , С , D за центры, величиной радиуса проводят четыре дуги до пересечения с окружностью. Полученные точки 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 и точки А , В , С , D разделяют окружность на двенадцать равных частей (рис. 6).

Рис. 6. Деление окружности на 12 равных частей

Деление окружности на пять равных частей

Из точки А проведем дугу тем же радиусом, что и радиус окружности до пересечения с окружностью - получим точку В . Опустив перпендикуляр с этой точки - получим точку С .Из точки С - середины радиуса окружности, как из центра, дугой радиуса СD сделаем засечку на диаметре, получим точку Е . Отрезок DЕ равен длине стороны вписанного правильного пятиугольника. Сделав радиусом DЕ засечки на окружности, получим точки деления окружности на пять равных частей.

Рис. 7. Деление окружности на 5 равных частей

Деление окружности на десять равных частей

Разделив окружность на пять равных частей, легко можно разделить окружность и на 10 равных частей. Проведя прямые от получившихся точек через центр окружности до противоположных сторон окружности - получим ещё 5 точек.

Рис. 8. Деление окружности на 10 равных частей

Деление окружности на семь равных частей

Чтобы разделить окружность радиуса R на 7 равных частей, из точки пересечения центровой линии с окружностью (например, из точки А ) описывают как из центра дополнительную дугу этим же радиусом R - получают точку В . Опустив перпендикуляр с точки В - получим точку С .Отрезок ВС равен длине стороны вписанного правильного семиугольника.

Рис. 9. Деление окружности на 7 равных частей

Деление окружности на три равные части. Устанавливают угольник с углами 30 и 60° большим катетом параллельно одной из центровых линий. Вдоль гипотенузы из точки 1 (первое деление) проводят хорду (рис. 2.11, а ), получая второе деление – точку 2. Перевернув угольник и проведя вторую хорду, получают третье деление – точку 3 (рис. 2.11, б ). Соединив точки 2 и 3; 3 и 1 прямыми, получают равносторонний треугольник.

Рис. 2.11.

а, б – с помощью угольника; в – с помощью циркуля

Ту же задачу можно решить с помощью циркуля. Поставив опорную ножку циркуля в нижний или верхний конец диаметра (рис. 2.11, в ), описывают дугу, радиус которой равен радиусу окружности. Получают первое и второе деления. Третье деление находится на противоположном конце диаметра.

Деление окружности на шесть равных частей

Раствор циркуля устанавливают равным радиусу R окружности. Из концов одного из диаметров окружности (из точек 1, 4 ) описывают дуги (рис. 2.12, а, б ). Точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 делят окружность на шесть равных частей. Соединив их прямыми, получают правильный шестиугольник (рис. 2.12, б ).

Рис. 2.12.

Ту же задачу можно выполнить с помощью линейки и угольника с углами 30 и 60° (рис. 2.13). Гипотенуза угольника при этом должна проходить через центр окружности.

Рис. 2.13.

Деление окружности на восемь равных частей

Точки 1, 3, 5, 7 лежат на пересечении центровых линий с окружностью (рис. 2.14). Еще четыре точки находят с помощью угольника с углами 45°. При получении точек 2, 4, 6, 8 гипотенуза угольника проходит через центр окружности.

Рис. 2.14.

Деление окружности на любое число равных частей

Для деления окружности на любое число равных частей пользуются коэффициентами, приведенными в табл. 2.1.

Длину l хорды, которую откладывают на заданной окружности, определяют по формуле l = dk, где l – длина хорды; d – диаметр заданной окружности; k – коэффициент, определяемый по табл. 1.2.

Таблица 2.1

Коэффициенты для деления окружностей

Чтобы разделить окружность заданного диаметра 90 мм, например, на 14 частей, поступают следующим образом.

В первой графе табл. 2.1 находят число делений п, т.е. 14. Из второй графы выписывают коэффициент k, соответствующий числу делений п. В данном случае он равен 0,22252. Диаметр заданной окружности умножают на коэффициент и получают длину хорды l= dk = 90 0,22252 = 0,22 мм. Полученную длину хорды откладывают циркулем-измерителем 14 раз на заданной окружности.

Нахождение центра дуги и определение величины радиуса

Задана дуга окружности, центр и радиус которой неизвестны.

Для их определения нужно провести две непараллельные хорды (рис. 2.15, а ) и восставить перпендикуляры к серединам хорд (рис. 2.15, б ). Центр О дуги находится на пересечении этих перпендикуляров.

Рис. 2.15.

Сопряжения

При выполнении машиностроительных чертежей, а также при разметке заготовок деталей на производстве часто приходится плавно соединять прямые линии с дугами окружностей или дугу окружности с дугами других окружностей, т.е. выполнять сопряжение.

Сопряжением называют плавный переход прямой в дугу окружности или одной дуги в другую.

Для построения сопряжений надо знать величину радиуса сопряжений, найти центры, из которых проводят дуги, т.е. центры сопряжений (рис. 2.16). Затем нужно найти точки, в которых одна линия переходит в другую, т.е. точки сопряжений. При построении чертежа сопрягающиеся линии нужно доводить точно до этих точек. Точка сопряжения дуги окружности и прямой лежит на перпендикуляре, опущенном из центра дуги на сопрягаемую прямую (рис. 2.17, а ), или на линии, соединяющей центры сопрягаемых дуг (рис. 2.17, б ). Следовательно, для построения любого сопряжения дугой заданного радиуса нужно найти центр сопряжения и точку (точки ) сопряжения.

Рис. 2.16.

Рис. 2.17.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса. Даны пересекающиеся под прямым, острым и тупым углами прямые линии (рис. 2.18, а ). Нужно построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R.

Рис. 2.18.

Для всех трех случаев можно применять следующее построение.

1. Находят точку О – центр сопряжения, который должен лежать на расстоянии R от сторон угла, т.е. в точке пересечения прямых, проходящих параллельно сторонам угла на расстоянии R от них (рис. 2.18, б ).

Для проведения прямых, параллельных сторонам угла, из произвольных точек, взятых на прямых, раствором циркуля, равным R, делают засечки и к ним проводят касательные (рис. 2.18, б ).

• 2. Находят точки сопряжений (рис. 2.18, в). Для этого из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямые.
• 3. Из точки О, как из центра, описывают дугу заданного радиуса R между точками сопряжений (рис. 2.18, в).

Сегодня в посте выкладываю несколько картинок кораблей и схем к ним для вышивания изонитью (картинки кликабельные).

Изначально второй парусник выполнен на гвоздиках. А поскольку гвоздик имеет определенную толщину, получается, что от каждого отходит две нитки. Плюс к этому наслоение одного паруса на второй. В итоге в глазах возникает некоторый эффект раздвоения изображения. Если вышивать корабль на картоне, думаю, он будет выглядеть более привлекательно.
Второй и третий кораблики вышивать несколько проще, чем первый. В каждом из парусов есть центральная точка (на нижней стороне паруса), из которой выходят лучи к точкам по периметру паруса.
Анекдот :
— У вас нитки есть?
— Есть.
— А суровые?
— Да кошмар просто! Подойти боюсь!

В декабре, через пару недель, блогу исполняется год. Страшно подумать – уже целый год! Когда я начинал писать в блог, у меня в запасе хорошо если набралось десяток тем будущих постов, а написанных постов в черновиках не было и вовсе, что, с точки зрения серъезного блоггинга, никуда не годилось. Получилось, я действовал по принципу – Сначала ввяжемся, а потом посмотрим. И вот что получилось.На сегодняшний день моя читательская аудитория представлена 58 странами. Но мне очень хотелось бы узнать больше о том, кто приходит ко мне в блог и с какой целью, как используюся материалы блога. Это очень важно, чтобы я мог оценить полезность наполнения страниц и в будущем году, на новом витке развития, учесть пожелания уважаемой аудитории (во загнулJ).Я разработал опросник, состоящий из 10 вопросов с мульти-выбором, т.е. нужно выбрать один из предлагаемых ответов. Если есть что-то, что Вам хотелось бы высказать, но это не вошло в список вопросов, пишите мне на e-mail или в комментриях к этому пост…

Формирование Элементарных математических представлений (предшкола).

Тема: «Деление на 8 частей».

Цель: Научить детей делить круг на 8 частей.

Формировать представления об отношениях и зависимости части и целого: целое больше части, часть меньше целого.

Закрепить знания о числах от 1 до 7.

Развивать внимание, память, мелкую моторику руки.

Воспитывать доброжелательность, усидчивость.

Материал: (демонстрационный) - карточки с цифрами, буквы, геометрические фигуры разного цвета, фишки;

Раздаточный: круги, ножницы, ручки, тетради.

Ход занятия: Ребята, у нас сегодня гости. Они пришли посмотреть, как вы умеете играть и заниматься.

Повернитесь к гостям. Улыбнитесь и поздоровайтесь. А теперь покажите мне свои добрые, умные и красивые глазки. Садитесь.

Ребята, кем вы хотите быть, когда вырастите?

Очень интересные и нужные у вас профессии и все они требуют хороших математических знаний.

А что значит, знать математику? (ответы детей)

Без счёта не будет на улице света,

Без счёта не может подняться ракета.

Без счёта письмо не найдёт адресата,

И в прятки сыграть не сумеют ребята.

Что ещё необходимо делать?

Дети: решать задачи, знать геометрические фигуры, уметь думать, сравнивать, анализировать и т. д.

Чтобы всему этому научиться, какими вы должны быть?

Дети: внимательными, сообразительными……

А вы внимательные? Сообразительные? Ну, тогда я думаю, что эта посылка доставлена по адресу.

К нам за помощью обратился капитан одного корабля, к сожалению, он не написал своего имени. А имя мы узнаем, если поможем ему. Вы согласны?

Матросы на его корабле подняли бунт и зашифровали название корабля. Капитан просит нас помочь ему выполнить задания моряков. Он прислал нам фотографию своего корабля. (вывешиваю нарисованный корабль).

Итак, первое задание.

Д/И» Что изменилось»

На доске выставляю карточки: 10-12шт., с изображением геометрических фигур, разного цвета, размера, формы).

Закройте глаза, опустите головы на стол (меняю расположение карточек)

Откройте глаза. –Что изменилось? (2-3 ответа на ушко, а затем ответы обычно).

Молодцы, ребята, вы были очень внимательны.

Закройте глаза, опустите головы на стол (меняю).

Что изменилось?

Ещё раз закройте глаза, опустите головы. (на это раз не меняю ничего)

Что изменилось? (4-5 ответов)

Молодцы, ребята, я вами очень довольна. Вот вы и узнали первую букву Н

Что это за буква? (приклеиваю на рисунок корабля).

Приступаем ко второму заданию. В числовом ряду потерялись цифры. Какие? 1…3…5…7..9.10 (дети выставляют пропущенные цифры).

Назовите соседей цифры 5,3,7.

Назовите цифру на 1 больше5, на 1 меньше 6.

Назовите цифру предыдущую 7, последующую 8 и т.п..

И в этом задании вы были внимательные, сообразительные. (открываю букву А). -Что это за буква?

Двери на корабле окрашены в разные цвета. З,К, Ж.

Какого цвета дверь, расположенная в середине? Это каюта капитана. Какого цвета дверь справа? Слева?- Это каюты матросов.

Где находится каюта капитана? Каюты матросов?

Хорошо, я думаю, если мы попадём на корабль, то найдём каюту капитана, и даже случайно не попадём в руки взбунтовавшихся матросов.(открываю третью букву -У).

Назовите эту букву. Прикройте ротик «чашечкой» и спойте эту букву.

Переходим к следующему заданию. На корабле есть кок. Как вы думаете, кто это? Он всегда печёт хлеб круглой формы, и матросы спорят, когда делят его на части. Давайте научимся сами и научим матросов делить круглую форму на части.

Как разделить круг пополам? -Ещё раз пополам?

Сложите ещё раз пополам. Прогладьте линии сгиба.

Сколько раз сложили?

Как вы думаете, сколько получится частей?

Разверните круг и разрежьте по линиям сгиба. Сосчитайте.

Сколько получилось частей? (3-4 ответа)

Покажите одну часть из восьми.

Сколько частей показываете? (3-4 ответа).

Покажите две части. - Сколько частей?(3-4 ответа).

Покажите четыре из восьми.

Что можно сказать про эти части? (половина).

Покажите восемь из восьми. Как можно по-другому назвать 8 из 8 (целое).

Что больше одно целое или 8 из 8? (3-4 ответа).

Молодцы! Я думаю, что теперь матросам будет легче делить каравай. (открываю буквы Т).

Что это за буква? «Посадите» её на язычок, бросьте мне.

В математике есть ещё и необычные задания «весёлые». Ответы на эти задания будете показывать на пальчиках. Закройте глаза, опустите головы на стол.

Сколько в комнате углов?

Сколько ног у воробьёв?

Сколько глаз у светофора?

Сколько хвостов у пяти ослов?

Сколько рогов у двух коров?

Откройте глаза. Сядьте красиво. Расправьте плечики, выпрямите спинки.

Вот и следующая буква. Назовите её (Н) –(3-4 ответа).

Ой, какое необычное следующее задание. «Отдых» , что это значит?

Тихонько встаньте. Давайте своей песенкой подбодрим капитана этого корабля.

Капитан, капитан улыбнитесь,

Ведь улыбка это флаг корабля.

Капитан, капитан подтянитесь,

Только смелым покоряются моря. (повтор 2 раза).

Садитесь. (открываю следующую букву). -Ребята, что это за буква? (Л).

Молодцы, умницы, почти расшифровали название корабля. Если уже кто-то догадался, держите название в секрете, ведь если мы согласились помочь капитану, то должны дойти до конца и выполнить все задания.

У меня 8 фишек. В правой руке – 2. Сколько фишек в левой руке?

В левой руке фишек-6, сколько фишек в правой руке?

В правой – 0, сколько в левой?

А теперь отгадайте, в какой руке сколько, но помнить, что всего фишек -8.

Я очень рада за вас. (открываю букву У).

Ребята, вы обратили внимание, что ни на дверях кают, ни на корабле нет никаких узоров. Давайте нарисуем узор и предложим капитану и морякам.

Я тетрадочку открою и как надо положу, возьмите ручку и начинаем писать: одна клеточка вниз, одна вправо, одна вверх, одна вправо, одна вниз и т.д..

Закончите строчку до конца. Красивый получился узор, вы постарались, ребята. Открываю последнюю букву (С).

Кто прочитал название корабля? Скажите мне на ушко. (2-3 ответа)

Как называется корабль? -Кто капитан на Наутилусе?

Итог: Капитан Немо благодарит вас за помощь. Вы помогли и матросам. Команда помирилась с капитаном и отправляется в плавание. А вам оставили подарки –мини штурвалы. -Вам понравилось помогать капитану и матросам?-Какое задание понравилось?

Я вас благодарю за то, что вы были такие внимательные, думающие, старательные. Спасибо вам.

Деление окружности на равные части, построение правильных многоугольников

Деление окружности на 4 и 8 равных частей

Концы взаимно перпендикулярных диаметров АС и BD (рис. 1) делят окружность с центром в точке О на 4 равные части. Соединив концы этих диаметров, можно получить квадрат A ВС D .

Если угол СОА между взаимно перпендикулярными диаметрами АЕ и С G (рис. 2) разделить пополам и провести взаимно перпендикулярные диаметры DH и BF , то их концы разделят окружность с центром в точке О на 8 равных частей. Соединив концы этих диаметров, можно получить правильный восьмиугольник ABCDEFGH .

Рис. 1 Рис. 2

Деление окружности на 3, 6 и 12 частей

Для деления окружности на 6 равных частей используют равенство сторон правильного шестиугольника радиусу описанной окружности. Если задана окружность с центром в точке О (рис. 3) и радиусом R , то из концов одного из ее диаметров (точек А и D ), как из центров, проводят дуги окружностей радиусом R . Точки пересечения этих дуг с заданной окружностью разделят ее на 6 равных частей. Последовательно соединив найденные точки, получают правильный шестиугольник ABCDEF .

Если окружность в центре с точкой О (рис.4) необходимо разделить на 3 равные части, то радиусом, равным радиусу этой окружности, следует провести дугу лишь из одного конца диаметра, например точки D . Точки В и С пересечения этой дуги с заданной окружностью, а так же точка А разделят последнюю на 3 равные части. Соединив точки А , В и С , можно получить равносторонний треугольник АВС .

Рис. 3 Рис. 4

Чтобы разделить окружность на 12 частей, деление окружности на 6 частей повторяют дважды (рис. 5), используя в качестве центров концы взаимно перпендикулярных диаметров: точки А и G , D и J . Точки пересечения проведенных дуг с заданной окружностью разделят ее на 12 частей. Соединив построенные точки, можно получить правильный двенадцати угольник.

Рис. 5

Деление окружности на 5 частей

О (рис. 6) на 5 частей, поступают следующим образом. Один из радиусов окружности, например ОМ , делят пополам описанным ранее способом. Из середины отрезка ОМ точка N радиусом R 1 , равным отрезку А N , проводят дугу окружности и отмечают точку Р пересечения этой дуги с диаметром, которому принадлежит радиус ОМ . Отрезок АР равен стороне вписанного в окружность правильного пятиугольника. Поэтому из конца А диаметра, перпендикулярного к ОМ , радиусом R 2 , равным отрезку АР , проводят дугу окружности. Точки В и Е пересечения этой дуги с заданной окружностью позволяют отметить две вершины пятиугольника.

Еще две вершины ( С и D ) являются точками пересечения дуг окружностей радиусом R 2 с центрами в точках В и Е с заданной окружностью с центром в точки О . Вершины правильного пятиугольника ABCDE делят заданную окружность на 5 равных частей.

Рис. 6

Деление окружности на 7 частей

Чтобы разделить окружность с центром в точке О (рис. 6) на 7 частей, необходимо из точки 1 провести вспомогательную дугу радиусом R , равным радиусу данной окружности, которая пересечет окружность в точке М . Из точки N опускаю перпендикуляр на горизонтальную осевую линию. Из точки А радиусом, равным радиусу MN , делают по окружности 7 засечек и получают семь искомых точек, соединив которые получают правильный семиугольник ABCDEFG .

Рис. 7

Деление окружности на произвольное число равных частей

Если ни в одном из рассмотренных ранее вариантов не удовлетворяет условию поставленной задачи, то используют прием, позволяющий разделить окружность на произвольное число равных частей и построить соответственно вписанные в нее правильные многоугольники с произвольным числом сторон.

Рассмотрим такое построение на примере деления окружности с центром в точке О (рис. 8а) на 7 равных частей. Сначала необходимо провести два взаимно перпендикулярных диаметра, один из которых, например проходящий через точку А , следует разделить на 7 равных частей, ограниченными точками 1…7. Из точки А , как из центра, радиусом R равным диаметру заданной окружности, надо провести дугу, пересечение которой с продолжением второго диаметра определит точки Р 1 и Р 2 . Затем через точки Р 1 и Р 2 (рис.8б), и четные точки, полученные при делении диаметра А7 (точки 2. 4 и 6), проводят прямые. Точки В , С , D и Е , F , G пересечения этих прямых с заданной окружностью и точка А делят окружность с центром О на 7 равных частей. Последовательно соединив построенные точки можно изобразить вписанный в окружность правильный семиугольник.

Рис. 8