"нестандартные признаки равенства треугольников". Первый признак равенства треугольников. Второй и третий признаки равенства треугольников Какие еще бывают признаки равенства треугольников

Геометрия как отдельный предмет начинается у школьников в 7 классе. До этого времени они касаются геометрических задач достаточно лёгкой формы и в основном того, что можно рассмотреть на наглядных примерах: площади комнаты, земельного участка, длины и высоты стен в помещениях, плоских предметов и прочее. В нача ле изучения непосредственно геометрии появляются первые сложности, такие, например, как понятие прямой, так как потрогать руками эту прямую нет возможности. Что касается треугольников -это самый простой вид многоугольников, содержащий всего три угла и три стороны.

Вконтакте

Одноклассники

Тема треугольников одна из основных важных и больших тем школьной программы в геометрии 7−9 классов. Усвоив её хорошо, возможно решать очень сложные задачи. При этом можно изначально рассматривать совершенно другую геометрическую фигуру, а затем разделить её для удобства на подходящие треугольные части.

Для работы над доказательством равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 нужно хорошо усвоить признаки равенства фигур и уметь ими пользоваться. Перед изучением признаков необходимо научиться определять равенство сторон и углов простейших многоугольников.

Чтобы доказать, что углы треугольников равны, помогут следующие варианты:

1. ∠ α = ∠ β исходя из построения фигур.
2. Дано в условии задания.
3. При двух параллельных прямых и наличии секущей могут образоваться как внутренние накрест лежащие, так и соответственные ∠ α = ∠ β.
4. Прибавляя (вычитая) к (из) ∠ α = ∠ β равные углы.
5. Всегда сходны вертикальные ∠ α и ∠ β
6. Общий ∠ α, одновременно принадлежащий ∆ MNK и ∆ MNH .
7. Биссектриса делит ∠ α на два равнозначных.
8. Смежный с ∠ 90° - угол, равный исходному.
9. Смежные равным углам равны.
10. Высота образует два смежных ∠ 90° .
11. В равнобедренном ∆ MNK при основании ∠ α = ∠ β.
12. В равных ∆ MNK и ∆ SDH соответствующие ∠ α = ∠ β.
13. Доказанное ранее равенство ∆ MNK и ∆ SDH .

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

3 признака равенства треугольников

Доказательство равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 очень удобно производить, опираясь на основные признаки тождественности этих простейших многоугольников. Существует три таких признака. Они являются очень важными при решении многих геометрических задач. Стоит рассмотреть каждый.

Перечисленные выше признаки являются теоремами и доказываются методом наложения одной фигуры на другую, соединения вершин соответственных углов и начала лучей. Доказательства равенства треугольников в 7 классе описаны в очень доступной форме, но сложны в изучении школьниками на практике, так как содержат большое количество элементов, обозначенных заглавными латинскими буквами. Это не совсем привычно для многих учеников на момент начала изучения предмета. Подростки путаются в названиях сторон, лучей, углов.

Чуть позже появляется ещё одна важная тема «Подобие треугольников». Само определение «подобие» в геометрии означает схожесть формы при различии размеров. Для примера можно взять два квадрата, первый со стороной 4 см, а второй 10 см. Эти виды четырёхугольников будут похожи и, одновременно, иметь отличие, поскольку второй будет больше, причём каждая сторона увеличена в одинаковое количество раз.

В рассмотрении темы подобия также приводятся 3 признака:

• Первый — о двух соответственно равных углах двух рассматриваемых треугольных фигур.
• Второй — об угле и образующих его сторонах ∆ MNK , которые равны соответственным элементам ∆ SDH .
• Третий — указывает на пропорциональность всех соответственных сторон двух нужных фигур.

Как же доказать, что треугольники подобны? Достаточно воспользоваться одним из выше перечисленных признаков и грамотно описать весь процесс доказательства задания. Тема подобия ∆ MNK и ∆ SDH проще воспринимается школьниками исходя из того, что к моменту её изучения ученики уже свободно пользуются обозначениями элементов в геометрических построениях, не путаются в огромном количестве названий и умеют читать чертежи.

Завершая прохождение обширной темы треугольных геометрических фигур, учащиеся уже в совершенстве должны знать, как доказать равенство ∆ MNK = ∆ SDH по двум сторонам, установить равны два треугольника или нет. Учитывая, что многоугольник, имеющий ровно три угла - это одна из важнейших геометрических фигур, к усвоению материала следует подойти серьёзно, уделяя особое внимание даже мелким фактам теории.

Среди огромного количества многоугольников, которые по сути являются замкнутой непересекающейся ломаной линией, треугольник - это фигура с наименьшим количеством углов. Другими словами, это простейший многоугольник. Но, несмотря на всю свою простоту, эта фигура таит в себе много загадок и интересных открытий, которые освещаются особым разделом математики - геометрией. Эту дисциплину в школах начинают преподавать с седьмого класса, и теме «Треугольник» здесь уделяется особое внимание. Дети не только узнают правила о самой фигуре, но и сравнивают их, изучая 1, 2 и 3 признак равенства треугольников.

Первое знакомство

Один из первых правил, с которым знакомятся школьники, звучит примерно так: сумма величин всех углов треугольника равняется 180 градусам. Чтобы это подтвердить, достаточно при помощи транспортира измерить каждую из вершин и сложить все получившиеся значения. Исходя из этого, при двух известных величинах легко определить третью. Например : В треугольнике один из углов равен 70°, а другой - 85°, какова величина третьего угла?

180 - 85 - 70 = 25.

Ответ: 25°.

Задачи могут быть и более сложными, если указано лишь одно значение угла, а про вторую величину сказано лишь, на сколько или во сколько раз она больше или меньше.

В треугольнике для определения тех или иных его особенностей могут быть проведены особые линии, каждая из которых имеет свое название:

• высота - перпендикулярная прямая, проведенная из вершины к противоположной стороне;
• все три высоты, проведенные одновременно, в центре фигуры пересекаются, образуя ортоцентр, который в зависимости от вида треугольника может находиться как внутри, так и снаружи;
• медиана - линия, соединяющая вершину с серединой противолежащей стороны;
• пересечение медиан является точкой его тяжести, находится внутри фигуры;
• биссектриса - линия, проходящая от вершины до точки пересечения с противолежащей стороной, точка пересечения трех биссектрис является центром вписанной окружности.

Простые истины о треугольниках

Треугольники, как, собственно, и все фигуры, имеют свои особенности и свойства. Как уже говорилось, эта фигура является простейшим многоугольником, но со своими характерными признаками:

• против самой длинной стороны всегда лежит угол с большей величиной, и наоборот;
• против равных сторон лежат равные углы, пример тому - равнобедренный треугольник;
• сумма внутренних углов всегда равна 180°, что уже было продемонстрировано на примере;
• при продлении одной стороны треугольника за его пределы образуется внешний угол, который всегда будет равен сумме углов, с ним не смежных;
• любая из сторон всегда меньше суммы двух других сторон, но больше их разницы.

Виды треугольников

Следующий этап знакомства заключается в определении группы, к которой относится представленный треугольник. Принадлежность к тому или иному виду зависит от величин углов треугольника.

• Равнобедренный - с двумя равными сторонами, которые называют боковыми, третья в этом случае выступает основанием фигуры. Углы у основания такого треугольника одинаковы, а медиана, проведенная из вершины, является биссектрисой и высотой.
• Правильный, или равносторонний треугольник, - это тот, у которого все его стороны равны.
• Прямоугольный: один из его углов равен 90°. В этом случае сторона, противолежащая этому углу, называется гипотенузой, а две другие - катетами.
• Остроугольный треугольник - все углы меньше 90°.
• Тупоугольный - один из углов больше 90°.

Равенство и подобие треугольников

В процессе обучения не только рассматривают отдельно взятую фигуру, но и сравнивают два треугольника. И эта, казалось бы, простая тема имеет массу правил и теорем, по которым можно доказать что рассматриваемые фигуры - равные треугольники. Признаки равенства треугольников имеют такое определение: треугольники равны, если их соответствующие стороны и углы одинаковы. При таком равенстве, если наложить эти две фигуры друг на друга, все их линии сойдутся. Также фигуры могут быть подобными, в частности, это касается практически одинаковых фигур, отличающихся лишь величиной. Для того чтобы сделать такое заключение о представленных треугольниках, необходимо соблюдение одного из следующих условий:

• два угла одной фигуры равны двум углам другой;
• две стороны одного пропорциональны двум сторонам второго треугольника, а величины углов, образованных сторонами, равны;
• три стороны второй фигуры такие же, как и у первой.

Конечно, для бесспорного равенства, которое не вызовет ни малейшего сомнения, необходимо иметь одинаковые значения всех элементов обеих фигур, однако с использованием теорем задача значительно упрощается, и для доказательства равенства треугольников допускается наличие лишь нескольких условий.

Первый признак равенства треугольников

Задачи по этой теме решаются на основе доказательства теоремы, которая звучит так: "Если две стороны треугольника и угол, который они образуют, равны двум сторонам и углу другого треугольника, то и фигуры тоже равны между собой".

Как же звучит доказательство теоремы про первый признак равенства треугольников? Всем известно, что два отрезка равны, если они одной длины, или окружности равны, если имеют одинаковый радиус. А в случае с треугольниками есть несколько признаков, имея которые, можно предположить, что фигуры идентичны, что очень удобно использовать при решении разных геометрических задач.

Как звучит теорема «Первый признак равенства треугольников», описано выше, а вот ее доказательство:

• Допустим, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 имеют одинаковые стороны АВ и А 1 В 1 и, соответственно, ВС и В 1 С 1 , а углы, которые образуются этими сторонами, имеют одну и ту же величину, то есть равны. Тогда, наложив △ ABC на △ А 1 В 1 С 1, получим совпадение всех линий и вершин. Отсюда вытекает, что эти треугольники абсолютно идентичны, а значит, равны между собой.

Теорему «Первый признак равенства треугольников» называют еще «По двум сторонам и углу». Собственно, в этом и заключается ее суть.

Теорема о втором признаке

Второй признак равенства доказывается аналогично, доказательство основывается на том, что при наложении фигур друг на друга они полностью совпадают по всем вершинам и сторонам. А звучит теорема так: "Если одна сторона и два угла, в образовании которых она участвует, соответствуют стороне и двум углам второго треугольника, то эти фигуры идентичны, то есть равны".

Третий признак и доказательство

Если как 2, так и 1 признак равенства треугольников касался как сторон, так и углов фигуры, то 3-й относится лишь к сторонам. Итак, теорема имеет следующую формулировку: "Если все стороны одного треугольника равны трем сторонам второго треугольника, то фигуры идентичны".

Чтобы доказать эту теорему, нужно более детально углубиться в само определение равенства. По сути, что означает выражение «треугольники равны»? Идентичность говорит о том, что если наложить одну фигуру на другую, все их элементы совпадут, это может быть только в том случае, когда их стороны и углы будут равны. В то же время угол, противолежащий одной из сторон, которая такая же, как у другого треугольника, будет равен соответствующей вершине второй фигуры. Следует отметить, что в этом месте доказательство легко перевести на 1 признак равенства треугольников. В случае если такая последовательность не наблюдается, равенство треугольников просто невозможно, за исключением тех случаев, когда фигура является зеркальным отражением первой.

Прямоугольные треугольники

В строении таких треугольников всегда есть вершины с величиной угла 90°. Поэтому справедливы следующие утверждения:

• треугольники с прямым углом равны, если катеты одного идентичны катетам второго;
• фигуры равны, если равны их гипотенузы и один из катетов;
• такие треугольники равны, если их катеты и острый угол идентичны.

Этот признак относится к Для доказательства теоремы применяют приложение фигур друг к другу, в результате которого треугольники складывают катетами так, чтобы из двух прямых вышел со сторонами СА и СА 1 .

Практическое применение

В большинстве случаев на практике применяется первый признак равенства треугольников. На самом деле такая, казалось бы, простая тема 7 класса по геометрии и планиметрии используется и для вычисления длины, например, телефонного кабеля без замеров местности, по которой он будет проходить. При помощи этой теоремы легко сделать необходимые расчеты для определения длины острова, находящегося посреди реки, не переплывая на него. Либо укрепить забор, расположив планку в пролете так, чтобы она делила его на два равных треугольника, или же рассчитать сложные элементы работы в столярном деле, или при расчете стропильной системы крыши во время строительства.

Первый признак равенства треугольников имеет широкое применение в реальной «взрослой» жизни. Хотя в школьные годы именно эта тема для многих кажется скучной и совершенно ненужной.

Инструкция

Если у треугольников ABC и DEF сторона AB равна стороне DE, а углы, прилегающие к стороне AB, равны углам, прилегающим к стороне DE, то эти треугольники считаются равными.

Если у треугольников ABC стороны AB, BC и CD равны соответствующим им сторонам треугольника DEF, то данные треугольники равны.

Обратите внимание

Если требуется доказать равенство между собой двух прямоугольных треугольников, то это можно сделать при помощи следующих признаков равенства прямоугольных треугольников:

По одному из катетов и гипотенузе;
- по двум известным катетам;
- по одному из катетов и прилежащему к нему острому углу;
- по гипотенузе и одному из острых углов.

Треугольники бывают остроугольными (если все углы его меньше 90 градусов), тупоугольными (если один из его углов больше 90 градусов), равносторонними и равнобедренными (если две стороны его равны).

Полезный совет

Помимо равенства треугольников между собой, эти же треугольники являются подобными. Подобными треугольниками считаются те, у которых углы равны между собой, а стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого. Стоит отметить, что если два треугольника подобны между собой, то это не гарантирует их равенство. При делении подобных сторон треугольников друг на друга рассчитывается так называемый коэффициент подобия. Также этот коэффициент можно получить путем деления площадей подобных треугольников.

Источники:

• доказать равенство площадей треугольников

Два треугольника равны, если все элементы одного равны элементам другого. Но необязательно знать все размеры треугольников, чтобы сделать заключение об их равенстве. Достаточно иметь определенные наборы параметров заданных фигур.

Инструкция

Если известно, что две стороны одного треугольника равны другого и равны углы между этими сторонами, то рассматриваемые треугольники равны. Для доказательства совместите вершины равных углов двух фигур. Продолжайте наложение. Из полученной общей для двух треугольников точки направьте одну сторону угла наложенного треугольника по соответствующей стороне нижней фигуры. По условию, эти стороны в двух равны. Значит, концы отрезков совпадут. Следовательно, совместилась еще одна пара вершин в заданных треугольниках. Направления вторых сторон угла, с которого начато , совпадут вследствие равенства этих углов. А поскольку эти стороны равны, произойдет наложение последней вершины. Между двумя точками возможно проведение единственной прямой. Следовательно, третьи стороны в двух треугольниках совпадут. Вы получили две полностью совпавшие фигуры и доказанный первый признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней два угла в одном треугольнике равны соответствующим в другом треугольнике, то два эти треугольника равны. Для доказательства правильности этого утверждения наложите две фигуры, совместив вершины равных углов при равных сторонах. Вследствие равенства углов совпадет направление второй и третьей сторон и однозначно определится место их пересечения, т. е. третья вершина первого из треугольников обязательно совместится с аналогичной точкой второго. Второй признак равенства треугольников доказан.

Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку»

«Новые» признаки равенства треугольников

Математика

9б класс МБОУ «Брянский городской
лицей №2 имени »

Руководитель: учитель математики

Брянск 2013

1. Введение

2. Создание каталога базовых задач на построение с помощью циркуля и линейки

3. Сопоставление изученных признаков равенства треугольников и задач на построение треугольников. Отыскание нового метода доказательства признаков равенства треугольников

4. Доказательство новых признаков равенства треугольников

5. Обобщение полученных результатов

6. Применение новых признаков равенства треугольников при решении задач

7. Заключение

I. Введение

«Если две стороны и угол между ними одного треугольника…..». Заученные, как таблица умножения, признаки равенства треугольников. Сотни раз мы цитировали и применяли их при решении задач. Казалось бы, что может быть проще? Мы знаем об этом все!

Однако до сих пор остались вопросы, ответы на которые не дают нам покоя. Метод наложения, используемый для доказательства первого признака равенства, показался нам несколько искусственным. Не потому ли мы никогда не использовали его в решении задач? Почему так мало признаков равенства треугольников? В 8 классе строили треугольники по все тем же двум сторонам и углу между ними. Случайность? Но в математике нет случайных совпадений.

Возможно, обнаружив связь между решением задач на построение треугольников и признаками равенства, мы получим новый метод доказательства ПРТ. «Вооружившись» им мы сможем доказать другие признаки равенства треугольников. Мы уверены, что их гораздо больше, чем 3!

Чтобы убедиться в том, что ответы на эти вопросы волнуют не только нас, мы провели социологический опрос среди учащихся и учителей лицея (см. приложение 3).

Наши предположения подтвердились. Большинство учеников знают только 3 признака равенства треугольников. Метод наложения не пользуется большой популярностью. Задачи на построение также не кажутся интересной темой в геометрии. А этап исследования многие вообще считают лишним.

Таким образом, целью нашего исследования стало отыскание более понятного нам метода доказательства признаков равенства треугольников и новых признаков равенства треугольников.

Крайне важно было дополнить перечень простейших задач на построение, изученных в седьмом классе, другими элементарными построениями, которые мы проходили в курсе восьмого и девятого класса. Всего получилось 12 базовых построений (см. приложение 1). В ходе дальнейшего исследования мы будем неоднократно обращаться к этому перечню.

Нужно отметить, что все задачи мы решали по алгоритму: дано-построить-анализ-построение-доказать-доказательство-исследование. Для простых задач и задач, решение которых известно, этап анализа мы опускали.

Больше всего внимание уделялось последнему этапу – исследованию, именно он дал нам возможность отыскать новый метод доказательства.

Чертежи было решено выполнять в программе Paint, поэтому возникла необходимость заранее научиться работать в ней.

II. Создание каталога базовых задач на построение с помощью циркуля и линейки

Большая часть нашей работы заключается в решении задач на построение треугольников, поэтому на первом этапе работы мы составили список простейших построений. Это позволило сделать решение задач более коротким и красивым.

Все задачи мы решали по плану: дано – построить – построение – доказать – доказательство - исследование. Особое значение уделялось этапу исследования.

Базовые задачи на построение решались в различных разделах геометрии 7 и 8 класса. Мы их собрали в единый каталог.

1) Построение отрезка, равного данному;

2) Построение угла, равного данному;

3) Построение биссектрисы угла;

4) Построение середины отрезка;

5) Построение перпендикуляра через точку лежащую/не лежащую на данной прямой;

6) Построение прямой, параллельной данной;

7) Построение третьего угла, по двум известным;

8) Построение касательной к окружности, через точку не лежащую на данной окружности;

9) Деление отрезка в заданном отношении;

10) Деление отрезка в заданном отношении отрезков;

11) Деление отрезка на n равных отрезков.

Подробное решение этих задач представлено в приложении 1.

III. Сопоставление изученных признаков равенства треугольников и задач на построение треугольников. Отыскание нового метода доказательства признаков равенства треугольников.

Для поиска нового метода доказательства ПРТ мы сопоставили условие первого ПРТ с условием одной из задач на построение. Они оказались одинаковыми и мы предположили, что это не случайно и решение задачи на построение приведет нас к нахождению нового метода доказательства.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

https://pandia.ru/text/78/103/images/image003_23.jpg" width="667" height="82 id=">

Вывод: В силу единственности построения, все треугольники, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны заданным элементам, равны.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

https://pandia.ru/text/78/103/images/image007_16.jpg" width="629" height="497">

ПРТ, доказанный в решении этой задачи, звучит так: «Если две стороны и медиана, проведенная к третьей, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей, другого треугольника, то эти треугольники равны.»

Но не все задачи решались так просто. Например, задача на построение по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из сторон, нового признака равенства не дала. Однако стоило нам немного изменить условие, и был получен еще один ПРТ. Решение этой задачи было особенно важно для нас, потому что ее условие мы придумывали сами.

https://pandia.ru/text/78/103/images/image010_3.png" width="630" height="340 id=">

После решения этой задачи, мы обратились к интернет - ресурсам и узнали, что это утверждение иногда называют 4 признаком равенства треугольников. Его доказательство приведено профессором МГУ, на сайте «Математика в школе», создателем которого является факультет педагогического образования МГУ имени. Это доказательство принципиально отличается от предложенного нами . Полное доказательство вы найдете http://www. school. *****///.

V. Обобщение полученных результатов

Итак, мы нашли новый метод доказательства ПРТ. Если по трем элементам треугольник построен единственный, то соответственное равенство этих элементов у двух треугольников означает, что треугольники равны.

Этот метод позволил создать новые признаки равенства треугольников:

4 ПРТ. По двум сторонам и углу, противолежащему к большей из них.

5 ПРТ. По стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной из вершины данного угла.

6 ПРТ. По двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего.

7 ПРТ. По двум углам и периметру (два варианта решения).

8 ПРТ. По двум сторонам и медиане, проведенной к третьей.

9 ПРТ. По трем медианам.

10 ПРТ. По двум углам и стороне, прилежащей к одному из них.

Подробное доказательство каждого из них представлено в приложении 3.

VI. Применение новых признаков равенства треугольников при решении задач

Возможно, кого-то мы еще не до конца убедили в важности нашего исследования. Конечно, любое исследование важно само по себе, ведь это изучение проблемы, поиск ответов на вопросы… Но наша работа имеет более определенное практическое значение, нежели просто интерес. Ведь множество задач по геометрии требует знания признаков равенства треугольников, а чем больше признаков, тем разнообразнее решения.

В учебнике «Геометрия 7-9» Атанасяна приведена задача повышенной сложности № 000*

Приведем ее решение двумя способами.

1 способ. «Удвоение медианы»

Доказательство:

MD=AM, DÎпрямой АМ

M1D1=A1M1, D1Îпрямой А1M1

2) AM=MD и BM=MC => ABCD-параллелограмм (по признаку)

3) A1M1=M1D1 и B1M1=M1C1 => A1B1C1D1-параллелограмм (по признаку)

4) DАВС=DА1В1С1, т. к.: АВ=А1В1(по условию)

AD=2AM=2A1M1=A1D1

B1D1=A1C1=A1C1=B1D1 (по свойству сторон параллелограмма)

5) Из равенства DАВD и DА1В1D1 следует равенство углов ÐАВD=ÐА1В1D1 => ÐВАС=180°-ÐАВD=180°-ÐА1В1D1 =ÐВ1А1С1

6) Рассмотрим DАВС и DА1В1С1:

АВ=А1В1; АС=А1С1, по условию; ÐА=ÐА1, по доказанному =>DА1В1С1=DА1В1С1 по двум сторонам и углу между ними.

2 способ. С применением 7ПРТ

Доказательство:

По условию АВ=А1В1; АС=А1С1; АМ=А1М1. Следовательно, DАВС=DА1В1С1 по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей (7ПРТ).

Очевидно, что 2 способ намного короче.

VII. Заключение

Подведем итоги: мы нашли метод доказательства ПРТ, отличный от метода наложения, доказали «новые» признаки равенства треугольников и решили задачи с применение этих признаков.

Также мы убедились, что в самой простой, на первый взгляд, теме может скрываться множество тайн. А задачи на построение треугольников, казавшиеся нам скучными и ненужными, стали намного интереснее, и в их актуальности больше нет никаких сомнений.

Мы нашли «инструмент», с помощью которого легко искать новые признаки равенства треугольников. Теперь, в случае необходимости, мы можем проверить, является ли набор из трех элементов признаком равенства треугольников или нет. И, несомненно, огромное удовольствие доставлял сам процесс поиска сначала нового метода доказательства ПРТ, а впоследствии открытия новых признаков равенства треугольников. Попутно мы освоили программу Paint.

Мы не можем утверждать, что были первыми, кто занимается этой проблемой. И, скорее всего, данный метод доказательства ПРТ был известен до нас. Возможно, мы что-то упустили и в «нашем» методе не все гладко. Поэтому, мы хотим представить нашу работу широкому кругу читателей. Их мнение для нас очень важно. Для этого исследование мы разместили на сайте «Виртуальный музей Лицея №2»(http://www. *****/) и завязали переписку с профессором. Мы упросили его дать отзыв о нашей работе .

Учащиеся и педагоги могут воспользоваться результатами нашего исследования при подготовке к урокам и экзаменам. Например, использовать расширенный список базовых задач на построение, открыть для себя новый метод доказательства ПРТ, самостоятельно доказывать признаки равенства треугольников, а также воспользоваться уже доказанными нами признаками. Очень важно, что появилась возможность сократить время на решение задач по геометрии на контрольных и экзаменах.

Список литературы

1. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. 8-е изд.-М.: Просвещение, АО «Московсий учебник», 2010.

2. «Это должен знать каждый матшкольник». 5-е издание, стереотип.-М.:МЦНМО, 2008-56.

3. «Четвертый признак равенства треугольников», «Математика в школе» http://www. school. *****///.

4. Сайт «Виртуальный музей Лицея №2»(http://www. *****/)

Приложение 1

Простейшие задачи на построение

Базовые построения с помощью циркуля и линейки

Исследование:

построение единственное в силу единственности каждого построения.

Примечание: PQ -серединный перпендикуляр к отрезку АВ

Приложение 2

Задачи на построение треугольников

4. Построить треугольник по двум углам и стороне прилежащей к одному из данных углов.

5. Построить треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной из данного угла

(решим задачу методом геометрических мест точек)

6. Построить треугольник по двум углам и высоте, проведенной из третьего.

(решим задачу методом подобия)

7. Построение треугольника по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из этих сторон

Существует три признака равенства для двух треугольников. В этой статье мы рассмотрим их в виде теорем, а также приведем их доказательства. Для этого вспомним, что фигуры будут равны в том случае, когда они будут целиком накладываться друг на друга.

Первый признак

Теорема 1

Два треугольника будут равными, если две стороны и угол между ними одного из треугольников будут равняться двум сторонам и углу, лежащему между ними в другом.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AB=A"B"$,$AC=A"C"$ и $∠A=∠A"$ (рис. 1).

Совместим высоты $A$ и $A"$ этих треугольников. Так как углы при этих вершинах равны между собой, то стороны $AB$ и $AC$ наложатся, соответственно, на лучи $A"B"$ и $A"C"$. Так как эти стороны попарно равны, то стороны $AB$ и $AC$, соответственно, совпадут со сторонами $A"B"$ и $A"C"$, а следовательно и вершины $B$ и $B"$, $C$ и $C"$ будут совпадать.

Следовательно, сторона BC полностью совпадет со стороной $B"C"$. Значит, и треугольники будут целиком накладываться друг на друга, что и означает их равенства.

Теорема доказана.

Второй признак

Теорема 2

Два треугольника будут равными, если два угла и их общая сторона одного из треугольников будут равняться двум углам и их общей стороны в другом.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AC=A"C"$ и $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (рис. 2).

Совместим стороны $AC$ и $A"C"$ этих треугольников, так что высоты $B$ и $B"$ будут лежать по одну сторону от нее. Так как углы при этих сторонах попарно равны между собой, то стороны $AB$ и $BC$ наложатся, соответственно, на лучи $A"B"$ и $B"C"$. Следовательно, и точка $B$ и точка $B"$ будет точками пересечения совмещенных лучей (то есть, к примеру, лучей $AB$ и $BC$). Так как лучи могут иметь только одну точку пересечения, то точка $B$ совпадет с точкой $B"$. Значит, и треугольники будут целиком накладываться друг на друга, что и означает их равенства.

Теорема доказана.

Третий признак

Теорема 3

Два треугольника будут равными, если три стороны одного из треугольников будут равняться трем сторонам в другом.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ и $BC=B"C"$ (рис. 3).

Доказательство.

Совместим стороны $AC$ и $A"C"$ этих треугольников, так что высоты $B$ и $B"$ будут лежать по разную сторону от нее. Далее будем рассматривать три различных случая полученного после этого расположения этих вершин. Будем их рассматривать на рисунках.

Первый случай:

Так как $AB=A"B"$, то будет верно равенство $∠ABB"=∠AB"B$. Аналогично, $∠BB"C=∠B"BC$. Тогда, как сумму, получим $∠B=∠B"$

Второй случай:

Так как $AB=A"B"$, то будет верно равенство $∠ABB"=∠AB"B$. Аналогично, $∠BB"C=∠B"BC$. Тогда, как разность, получим $∠B=∠B"$

Следовательно, по теореме 1, эти треугольники равны.

Третий случай:

Так как $BC=B"C"$, то будет верно равенство $∠ABC=∠AB"C$

Следовательно, по теореме 1, эти треугольники равны.

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Докажите равенство треугольников на рисунке ниже