Ломаная

Определение

Ломаной линией , или короче, ломаной , называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.

Виды ломаной

Ломаная называется замкнутой , если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.

Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется простой .

Многоугольники

Определение

Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником .

Замечание

В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.

Свойство

У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$.

Доказательство

Пусть дан многоугольник $P$.

Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).

На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого.

Определение

Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым .

Замечание

Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.

Свойства выпуклого многоугольника

У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$.

Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике.

Доказательство

Докажем первое свойство

Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ – прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$.

Докажем второе свойство

Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.

Определение

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.

Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)

Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$.

Доказательство

Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $n\cdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac{n(n-3)}{2}$.

Теорема (о сумме углов n-угольника)

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.

Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_{n-1}OA_n$ равна $180^\circ\cdot n$.

C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Следствие

Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$, у которого только угол $\angle A_2$ невыпуклый, то есть $\angle A_2>180^\circ$.

Обозначим сумму его улов $S$.

Соединим точки $A_1A_3$ и рассмотрим многоугольник $A_1A_3\ldots A_n$.

Сумма углов этого многоугольника равна:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-(\angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Следовательно, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению.

Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)

Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$.

Доказательство

Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$.

Сумма всех внешних углов равна:

$\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$.

Вашего многоугольника. Например, если вам нужно найти углы правильного многоугольника с 15 сторонами, подставьте n=15 в уравнение. У вас получится S=180⁰(15-2), S=180⁰х13, S=2340⁰.

Далее разделите полученную сумму внутренних углов на их количество. Например, в с многоугольником количество углов количеству сторон, то есть 15. Таким образом, вы получите, что угол равен 2340⁰/15=156⁰. Каждый внутренний угол многоугольника равен 156⁰.

Если вам удобнее рассчитать углы многоугольника в радианах, действуйте следующим образом. Вычтите из количества сторон число 2 и умножьте полученную разность на число П (Пи). Затем разделите произведение на количество углов в многоугольнике. Например, если вам нужно рассчитать углы правильного 15-угольника, действуйте так: П*(15-2)/15=13/15П, или 0,87П, или 2,72 (но, как , число П остается в неизменном виде). Либо просто разделите размер угла в градусах на 57,3 - именно столько содержится в одном радиане.

Также можете попробовать рассчитать углы правильного многоугольника в градах. Для этого вычтите из количества сторон число 2, разделите полученное число на количество сторон и умножьте результат на 200. Эта единица измерения углов сегодня почти не используется, но если вы решили посчитать углы в градах, не забудьте, что град разбивается на метрические секунды и минуты (по 100 секунд в минуте).

Возможно, вам необходимо рассчитать внешний угол правильного многоугольника, в этом случае поступайте так. Вычтите из 180⁰ внутренний угол – в результате вы получите значение смежного, то есть внешнего угла. Он может принимать значение от -180⁰ до +180⁰.

Полезный совет

Если вам удалось узнать углы правильного многоугольника – вы сможете легко его построить. Начертите одну сторону определенной длины и от нее при помощи транспортира отложите нужный угол. Отмерьте точно такое же расстояние (все стороны правильного многоугольник равны) и снова отложите нужный угол. Продолжайте, пока стороны не сомкнутся.

Источники:

• угол в правильном многоугольнике

Описанным называется такой многоугольник, все стороны которого касаются вписанной в него окружности. Описать можно только правильный многоугольник, то есть такой, у которого равны все стороны. С решением подобной задачи сталкивались еще древние архитекторы, когда нужно было спроектировать, например, колонну. Современные технологии позволяют это сделать с минимальными временными затратами, однако принцип работы остается тем же, что и в классической геометрии.

Вам понадобится

• - циркуль;
• - транспортир;
• - линейка;
• - лист бумаги.

Инструкция

Начертите окружность с заданным . Центр ее определите как О и проведите один из радиусов, чтобы была возможность начать построение. Для того чтобы описать вокруг нее многоугольник, вам нужно единственный его параметр - количество сторон. Обозначьте его как n.

Вспомните, угол любой окружности. Он составляет 360°. Исходя из этого, можно вычислить углы секторов, стороны которых будут соединять центр окружности с точками касания ее со сторонами многоугольника. Количество этих секторов равняется числу сторон многоугольника, то есть n. Угол α найдите по формуле α = 360°/n.

С помощью транспортира отложите полученную величину угла от радиуса и проведите через нее еще один радиус. Чтобы вычисления были точными, пользуйтесь калькулятором и округляйте величины только в исключительных случаях. От этого нового радиуса снова отложите угол сектора и проведите еще одну прямую между центром и линией окружности. Таким же образом постройте все углы.

Примечание . Данный материал содержит теорему и ее доказательство, а также ряд задач, иллюстрирующих применение теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника на практических примерах .

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

.

Доказательство .

Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Пусть A 1 A 2... A n - данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – (n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n -угольника A 1 A 2... A n равна 180° (n – 2).

Задача.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные - 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Решение.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2) .

Значит, для нашего случая:

180(n-2)=3*80+x*150, где

3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит обозначим их количество как x.

Однако, из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.

Таким образом уравнение будет выглядеть так:

180(n-2)=240+150(n-3)

Решаем полученное уравнение

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Ответ: 5 вершин

Задача.

Какое количество вершин может иметь многоугольник, если величина каждого из углов менее 120 градусов?

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех углов равна 180°(n-2) .

Значит, для нашего случая необходимо сначала оценить граничные условия задачи. То есть, сделать допущение, что каждый из углов равен 120 градусам. Получаем:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (это выражение рассмотрим отдельно ниже)

Исходя из полученного уравнения, делаем вывод: при величине углов менее 120 градусов, количество углов многоугольника менее шести.

Объяснение:

Исходя из выражения 180n - 120n = 360 , при условии, что вычитаемое правой части будет менее 120n, разность должна быть более 60n. Таким образом, частное от деления всегда будет менее шести.

Ответ: количество вершин многоугольника будет менее шести.

Задача

В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера - целое число. Найти количество вершин многоугольника.

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех внешних углов равна 360° .

Таким образом,

3*(180-113)+(n-3)x=360

правая часть выражения - сумма внешних углов, в левой части сумма трех углов известна по условию, а градусная мера остальных (их количество, соответственно n-3, так как три угла известны) обозначена как x.

159 раскладывается только на два множителя 53 и 3, при чем 53 - простое число. То есть других пар множителей не существует.

Таким образом, n-3 = 3, n=6, то есть количество углов многоугольника - шесть.

Ответ : шесть углов

Задача

Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов.

Решение

Как известно, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 0 . Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника не менее четырех острых внутренних углов, следовательно среди его внешних углов не менее четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*90 0 = 360 0 . Имеем противоречие. Утверждение доказано.

Данные геометрические фигуры окружают нас повсюду. Выпуклые многоугольники бывают природными, например, пчелиные соты или искусственными (созданными человеком). Эти фигуры используются в производстве различных видов покрытий, в живописи, архитектуре, украшениях и т.д. Выпуклые многоугольники обладают тем свойством, что все их точки располагаются по одну сторону от прямой, что проходит через пару соседних вершин этой геометрической фигуры. Существуют и другие определения. Выпуклым называется тот многоугольник, который расположен в единой полуплоскости относительно любой прямой, содержащей одну из его сторон.

В курсе элементарной геометрии всегда рассматриваются исключительно простые многоугольники. Чтобы понять все свойства таких необходимо разобраться с их природой. Для начала следует уяснить, что замкнутой называется любая линия, концы которой совпадают. Причем фигура, образованная ею, может иметь самые разные конфигурации. Многоугольником называют простую замкнутую ломаную линию, у которой соседние звенья не располагаются на одной прямой. Ее звенья и вершины являются, соответственно, сторонами и вершинами этой геометрической фигуры. Простая ломаная не должна иметь самопересечений.

Вершины многоугольника называют соседними, в том случае если они представляют собой концы одной из его сторон. Геометрическая фигура, у которой имеется n-е число вершин, а значит, и n-е количество сторон, называется n-угольником. Саму ломаную линию называют границей или контуром этой геометрической фигуры. Многоугольной плоскостью или плоским многоугольником называют конечную часть любой плоскости, им ограниченной. Соседними сторонами этой геометрической фигуры называют отрезки ломаной линии, исходящие из одной вершины. Они будут не соседними, если исходят их разных вершин многоугольника.

Другие определения выпуклых многоугольников

В элементарной геометрии существует еще несколько эквивалентных по своему значению определений, указывающих на то, какой многоугольник называется выпуклым. Причем все эти формулировки в одинаковой степени верны. Выпуклым считается тот многоугольник, у которого:

Каждый отрезок, что соединяет две любые точки внутри него, полностью лежит в нем;

Внутри него лежат все его диагонали;

Любой внутренний угол не превышает 180°.

Многоугольник всегда разбивает плоскость на 2 части. Одна из них - ограниченная (она может быть заключена в круг), а другая - неограниченная. Первую называют внутренней областью, а вторую - внешней областью этой геометрической фигуры. Данный многоугольник является пересечением (иными словами - общей составляющей) нескольких полуплоскостей. При этом каждый отрезок, имеющий концы в точках, которые принадлежат многоугольнику, полностью принадлежит ему.

Разновидности выпуклых многоугольников

Определение выпуклого многоугольника не указывает на то, что их существует множество видов. Причем у каждого из них имеются определенные критерии. Так, выпуклые многоугольники, у которых есть внутренний угол равный 180°, называются слабовыпуклыми. Выпуклая геометрическая фигура, что имеет три вершины, называется треугольником, четыре - четырехугольником, пять - пятиугольником и т. д. Каждый из выпуклых n-угольников отвечает следующему важнейшему требованию: n должно равняться или быть больше 3. Каждый из треугольников является выпуклым. Геометрическая фигура данного типа, у которой все вершины располагаются на одной окружности, называется вписанной в окружность. Выпуклый многоугольник называют описанным, если все его стороны около окружности прикасаются к ней. Два многоугольника называют равными только в том случае, когда при помощи наложения их можно совместить. Плоским многоугольником называют многоугольную плоскость (часть плоскости), что ограничена этой геометрической фигурой.

Правильные выпуклые многоугольники

Правильными многоугольниками называют геометрические фигуры с равными углами и сторонами. Внутри них имеется точка 0, которая находится на одинаковом расстоянии от каждой из его вершин. Ее называют центром этой геометрической фигуры. Отрезки, соединяющие центр с вершинами этой геометрической фигуры называют апофемами, а те, что соединяют точку 0 со сторонами - радиусами.

Правильный четырехугольник - квадрат. Правильный треугольник называют равносторонним. Для таких фигур существует следующее правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен 180° * (n-2)/ n,

где n - число вершин этой выпуклой геометрической фигуры.

Площадь любого правильного многоугольника определяют по формуле:

где p равно половине суммы всех сторон данного многоугольника, а h равно длине апофемы.

Свойства выпуклых многоугольников

Выпуклые многоугольники имеют определенные свойства. Так, отрезок, который соединяет любые 2 точки такой геометрической фигуры, обязательно располагается в ней. Доказательство:

Предположим, что Р - данный выпуклый многоугольник. Берем 2 произвольные точки, например, А, В, которые принадлежат Р. По существующему определению выпуклого многоугольника эти точки расположены в одной стороне от прямой, что содержит любую сторону Р. Следовательно, АВ также имеет это свойство и содержится в Р. Выпуклый многоугольник всегда возможно разбить на несколько треугольников абсолютно всеми диагоналями, которые проведены из одной его вершины.

Углы выпуклых геометрических фигур

Углы выпуклого многоугольника - это углы, что образованы его сторонами. Внутренние углы находятся во внутренней области данной геометрической фигуры. Угол, что образован его сторонами, которые сходятся в одной вершине, называют углом выпуклого многоугольника. с внутренними углами данной геометрической фигуры, называют внешними. Каждый угол выпуклого многоугольника, расположенный внутри него, равен:

где х - величина внешнего угла. Эта простая формула действует в отношении любых геометрических фигур такого типа.

В общем случае, для внешних углов существует следующие правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен разности между 180° и величиной внутреннего угла. Он может иметь значения в пределах от -180° до 180°. Следовательно, когда внутренний угол составляет 120°, внешний будет иметь величину в 60°.

Сумма углов выпуклых многоугольников

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника устанавливается по формуле:

где n - число вершин n-угольника.

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется довольно просто. Рассмотрим любую такую геометрическую фигуру. Для определения суммы углов внутри выпуклого многоугольника необходимо соединить одну из его вершин с другими вершинами. В результате такого действия получается (n-2) треугольника. Известно, что сумма углов любых треугольников всегда равна 180°. Поскольку их количество в любом многоугольнике равняется (n-2), сумма внутренних углов такой фигуры равняется 180° х (n-2).

Сумма углов выпуклого многоугольника, а именно любых двух внутренних и смежных с ними внешних углов, у данной выпуклой геометрической фигуры всегда будет равна 180°. Исходя из этого, можно определить сумму всех ее углов:

Сумма внутренних углов составляет 180° * (n-2). Исходя из этого, сумму всех внешних углов данной фигуры устанавливают по формуле:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда будет равна 360° (независимо от количества его сторон).

Внешний угол выпуклого многоугольника в общем случае представляется разностью между 180° и величиной внутреннего угла.

Другие свойства выпуклого многоугольника

Помимо основных свойств данных геометрических фигур, у них есть и другие, которые возникают при манипуляциях с ними. Так, любой из многоугольников может быть разделен на несколько выпуклых n-угольников. Для этого необходимо продолжить каждую из его сторон и разрезать эту геометрическую фигуру вдоль этих прямых линий. Разбить любой многоугольник на несколько выпуклых частей можно и таким образом, чтобы вершины каждого из кусков совпадали со всеми его вершинами. Из такой геометрической фигуры можно очень просто сделать треугольники путем проведения всех диагоналей из одной вершины. Таким образом, любой многоугольник, в конечном счете, можно разбить на определенное количество треугольников, что оказывается весьма полезным при решении различных задач, связанных с такими геометрическими фигурами.

Периметр выпуклого многоугольника

Отрезки ломаной линии, называемые сторонами многоугольника, чаще всего обозначаются следующими буквами: ab, bc, cd, de, ea. Это стороны геометрической фигуры с вершинами a, b, c, d, e. Сумма длины всех сторон этого выпуклого многоугольника называют его периметром.

Окружность многоугольника

Выпуклые многоугольники могут быть вписанными и описанными. Окружность, касающаяся всех сторон этой геометрической фигуры, называется вписанной в нее. Такой многоугольник называют описанным. Центр окружности, которая вписана в многоугольник, представляет собой точку пересечения биссектрис всех углов внутри данной геометрической фигуры. Площадь такого многоугольника равняется:

где r - радиус вписанной окружности, а p - полупериметр данного многоугольника.

Окружность, содержащую вершины многоугольника, называют описанной около него. При этом данная выпуклая геометрическая фигура называется вписанной. Центр окружности, которая описана около такого многоугольника, представляет собой точку пересечения так называемых серединных перпендикуляров всех сторон.

Диагонали выпуклых геометрических фигур

Диагонали выпуклого многоугольника - это отрезки, которые соединяют не соседние вершины. Каждая из них лежит внутри этой геометрической фигуры. Число диагоналей такого n-угольника устанавливается по формуле:

N = n (n - 3)/ 2.

Число диагоналей выпуклого многоугольника играет важную роль в элементарной геометрии. Число треугольников (К), на которые возможно разбить каждый выпуклый многоугольник, вычисляется по следующей формуле:

Количество диагоналей выпуклого многоугольника всегда зависит от числа его вершин.

Разбиение выпуклого многоугольника

В некоторых случаях для решения геометрических задач необходимо разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников с непересекающимися диагоналями. Эту проблему можно решить путем выведения определенной формулы.

Определение задачи: назовем правильным некое разбиение выпуклого n-угольника на несколько треугольников диагоналями, пересекающимися только в вершинах этой геометрической фигуры.

Решение: Предположим, что Р1, Р2 , Р3 … , Pn - вершины этого n-угольника. Число Xn - количество его разбиений. Внимательно рассмотрим полученную диагональ геометрической фигуры Pi Pn. В любом из правильных разбиений Р1 Pn принадлежит определенному треугольнику Р1 Pi Pn, у которого 1

Пусть і = 2 будет одной группой правильных разбиений, всегда содержащей диагональ Р2 Pn. Количество разбиений, которые входят в нее, совпадает с числом разбиений (n-1)-угольника Р2 Р3 Р4… Pn. Иными словами, оно равняется Xn-1.

Если і = 3, то эта другая группа разбиений будет всегда содержать диагонали Р3 Р1 и Р3 Pn. При этом количество правильных разбиений, что содержатся в данной группе, будет совпадать с числом разбиений (n-2)-угольника Р3 Р4… Pn. Другими словами, оно будет равняться Xn-2.

Пусть і = 4, тогда среди треугольников правильное разбиение непременно будет содержать треугольник Р1 Р4 Pn, к которому будет примыкать четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4, (n-3)-угольник Р4 Р5… Pn. Количество правильных разбиений такого четырехугольника равняется Х4, а число разбиений (n-3)-угольника равняется Xn-3. Исходя из всего изложенного, можно сказать, что полное количество правильных разбиений, которые содержатся в данной группе, равняется Xn-3 Х4. Другие группы, у которых і = 4, 5, 6, 7… будут содержать Xn-4 Х5, Xn-5 Х6, Xn-6 Х7 … правильных разбиений.

Пусть і = n-2, то количество правильных разбиений в данной группе будет совпадать с числом разбиений в группе, у которой i=2 (другими словами, равняется Xn-1).

Так как Х1 = Х2 = 0, Х3=1, Х4=2…, то число всех разбиений выпуклого многоугольника равно:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 Х4 + Xn-4 Х5 + … + Х 5 Xn-4 + Х4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Х5 = Х4 + Х3 + Х4 = 5

Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14

Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42

Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132

Количество правильных разбиений, пересекающих внутри одну диагональ

При проверке частных случаев, можно прийти к предположению, что число диагоналей выпуклых n-угольников равняется произведению всех разбиений этой фигуры на (n-3).

Доказательство данного предположения: представим, что P1n = Xn * (n-3), тогда любой n-угольник возможно разбить на (n-2)-треугольников. При этом из них может быть сложен (n-3)-четырехугольник. Наряду с этим, у каждого четырехугольника будет диагональ. Поскольку в этой выпуклой геометрической фигуре могут быть проведены две диагонали, это значит, что и в любых (n-3)-четырехугольниках возможно провести дополнительные диагонали (n-3). Исходя из этого, можно сделать вывод, что в любом правильном разбиении имеется возможность провести (n-3)-диагонали, отвечающие условиям этой задачи.

Площадь выпуклых многоугольников

Нередко при решении различных задач элементарной геометрии появляется необходимость определить площадь выпуклого многоугольника. Предположим, что (Xi. Yi), i = 1,2,3… n представляет собой последовательность координат всех соседних вершин многоугольника, не имеющего самопересечений. В этом случае его площадь вычисляется по такой формуле:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

где (Х 1 , Y 1) = (X n +1 , Y n + 1).

Внутренний угол многоугольника - это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника - это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

s = 2d (n - 2)

где s - это сумма углов, 2d - два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n - количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d ), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

s = 2d (n - 2) = 180 · 4 = 720°

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d ).

s = 4d

где s - это сумма внешних углов, 4d - четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d ), так как они являются смежными углами . Например, ∠1 и ∠2 :

Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn . Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d (n - 2):

s = 2dn - 2d (n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d