Логика урок 2

Тема: Основные логические операции.

Цель:

закрепить понятия логики, алгебры высказываний;

рассмотреть основные логические операции, их свойства и обозначения.

План урока.

Проверка домашнего задания (фронтальный опрос).

Изучение нового материала.

Домашнее задание.

1. Проверка домашнего задания.

1. 1. Сформулируйте определение логики как науки. (Логика – наука о формах и способах мышления; учение о способах рассуждений и доказательств .)

      Дайте определение алгебры логики. (Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.)

      Сформулируйте понятие высказывания. (Высказывание - это повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или нет.)

      Как обозначаются истинные и ложные высказывания? (В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0).)

      Какие из следующих предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями?

      • Город Париж – столица Франции. (1)

        3+5=2х4. (1)

        2+6>10 (0)

        Сканер – это устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера. (0)

        II+VI≥ VIII (1)

        Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8. (0)

        Мышка – устройство ввода информации. (1)

Какое высказывание называется сложным? (Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными)

Изучение нового материала.

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определённые логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».

Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Логическое отрицание (инверсия).

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным. Слово «инверсия» (от лат. inversio – переворачивание) означает, что белое меняется на чёрное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на единицу, единица на ноль.

Пусть A = «Два умножить на два равно четырём» - истинное высказывание, тогда высказывание НЕ (А)= «Два умножить на два не равно четырём», образованное с помощью операции логического отрицания, - ложно.

На формальном языке алгебры высказываний (алгебры логики) операцию логического отрицания (инверсию) принято обозначать: НЕ (А); ­А; NOT (A );Ã .

A

НЕ (А)

А= «У меня есть приставка Денди» - высказывание.

Инверсия А – это высказывание «У меня нет приставки Денди»

0

1

1

0

Логическое умножение (конъюнкция).

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Рассмотрим следующие высказывания:

(1) «2*2=5 и 3*3=10»;

(2) «2*2=5 и 3*3=9»;

(3) «2*2=4 и 3*3=10;

(4)«2*2=4 и 3*3=9».

Истинным будет лишь четвёртое высказывание, так как в первых трёх хотя бы одно из простых высказываний ложно.

Обозначение конъюнкции: А И В; A AND B ; A ^ B ; A & B ; A  B .

Образуем составное высказывание F , которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний A и B : F = A ^B . С точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменные A и B , которые могут принимать значения «истина» (1) и «ложь» (0).

Сама функция логического умножения F также может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах её аргументов.

A

B

F=A^B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции логического умножения. Рассмотрим, например, составное высказывание «2*2=4 и 3*3=10». Первое простое высказывание истинно (А=1), а второе высказывание ложно (В=0), по таблице определяем, что логическая функция принимает значение ложь (F =0), то есть данное составное высказывание ложно.

Логическое сложение (дизъюнкция).

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией . Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле, и это затрудняет толкование высказываний с союзом «или»

(1) «2*2=5 или 3*3=10»;

(2) «2*2=5 или 3*3=9»;

(3) «2*2=4 или 3*3=10;

(4)«2*2=4 или 3*3=9».

Из приведённых составных высказываний ложным будет лишь первое, так как в остальных хотя бы одно из простых высказываний истинно.

Обозначение операции логического сложения (дизъюнкции): А ИЛИ В; A OR B ; A + B ; A  B .

Образуем составное высказывание F , которое получится в результате дизъюнкции двух простых высказываний A и B : F = A ν B . С точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического сложения, аргументами которой являются логические переменные A и B .

A

B

F=A ν B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции логического сложения. Рассмотрим, например, составное высказывание «2*2=4 или 3*3=10». Первое простое высказывание истинно (А=1), а второе высказывание ложно (В=0), по таблице определяем, что логическая функция принимает значение истина (F =1), то есть данное составное высказывание истинно.

Логическое следование (импликация).

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».

Примеры импликаций:

А = Если клятва дана, то она должна выполняться.

В = Если число делится на 9, то оно делится на 3.

В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания. Приведём примеры, которые не только правомерно рассматривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»:

С= Если коровы летают, то 2+2=5

Х= Если я – Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Обозначение импликации: А->B ; A =>B ;A IMP B .

Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечёт В; В следует из А.

Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Пояснить её можно, например, следующим образом. Пусть даны высказывания:

А=На улице дождь.

В= Асфальт мокрый.

(А импликация В)= Если на улице дождь, то асфальт мокрый.

Тогда, если идёт дождь (А=1) и асфальт мокрый (В=1), то это соответствует действительности, то есть истинно. Но если вам скажут, что на улице дождь (А=1), а асфальт остаётся сухим (В=0), то вы посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А=0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

Смысл высказываний А и В для указанных значений

Значение высказывания «Если на улице дождь, то асфальт мокрый»

Дождя нет

Асфальт сухой

Истина

Дождя нет

Асфальт мокрый

Истина

Дождь идёт

Асфальт сухой

Ложь

Дождь идёт

Асфальт мокрый

Истина

Таблица истинности.

А

В

А=>B

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведёт к ложному выводу).

Разберем один из приведенных выше примеров следований, противоречащих здравому смыслу.

Дано высказывание : «Если коровы летают, то 2+2=5».

Форма высказывания : «если А, то В», где А = Коровы летают = 0; В = (2 + 2 = 5) = 0.

На основании таблицы истинности определим значение высказывания :0 => 0 = 1, т. е. высказывание истинно.

Логическое равенство (эквивалентность).

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».

Примеры эквивалентностей:

1) Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90°.

2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)

4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. (Шутка.)

Все законы математики, физики, все определения суть эквивалентность высказываний.

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В; A EQV B .

Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания: А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.

(А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.

А<=> В

Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.

Домашнее задание.

Работа с конспектом.

Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №1
имени 50-летия «Красноярскгэсстрой»

г. Саяногорск 2009

Муниципальный этап республиканского конкурса
«Электронные разработки» в 2009 году

Направление: естественнонаучное

Название конкурсной работы

Логические операции

урок информатики в 9 классе

учитель информатики,
1 квалификационная категория

Технологическая карта урока

ФИО учителя

Орешина Нина Семеновна

МОУ СОШ №1 имени 50-летия «Красноярскгэсстрой» г. Саяногорска

Предмет, класс

Информатика, 9 класс

Тема урока,

«Логические операции»

Тип урока

Комбинированный урок

Цель урока

Задачи урока

обучающие

развивающие

воспитательные

1. Развивать логическое мышление.

Вид используемых на уроке средств ИКТ (универсальные, ОЭР на CD -ROM , ресурсы сети Интернет)

Презентация Power Point;

Текс товый документ

Необходимое аппаратное и программное обеспечение

• Мультимедейный проектор;

Литература

Информатика и ИКТ. Учебник. 8–9 класс/ Под ред проф. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2007

Программа по информатике и ИКТ (системно-информационная концепция) к комплекту учебников по информатике и ИКТ 5-11 класс, 2007

Информатика и ИКТ: Методическое пособие для учителей. Часть 3. Техническое обеспечение информационных технологий/ Под ред проф. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2008

ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА

ЭТАП 1

Организационный

Актуализация внимания учащихся на урок

Длительность этапа

Восприятие цели урока, настрой на урок

Настроить учащихся на урок, сконцентрировать внимание учащихся на теме урока.

ЭТАП 2

Актуализация знаний

Актуализация знаний учащихся

Длительность этапа

Работа по заданиям на карточках.

Проверка осуществляется с помощью демонстрации презентации (2).

Форма организации деятельности учащихся

1 задание – работа по вариантам на карточках

2 задание – индивидуальная работа по разноуровневым заданиям на карточках

Функции преподавателя на данном этапе

организующая

Промежуточный контроль

выборочный

ЭТАП 3

Изучение нового материала

Познакомить учащихся с простейшими логическими операциями и этапами построения таблицы истинности

Длительность этапа

Основной вид деятельности со средствами ИКТ

Демонстрация презентации (3-26 слайд)

Форма организации деятельности учащихся

Индивидуальная,

Функции преподавателя на данном этапе

Изложение нового материала

ЭТАП 4

Физкультминутка.

Снятие локального утомления.

Длительность этапа

ЭТАП 5

Закрепление новых знаний

Проверить степень понимания нового материала

Длительность этапа

Основной вид деятельности со средствами ИКТ

Демонстрация презентации (27 - 32 слайд)

Форма организации деятельности учащихся

Самостоятельная работа учащихся в тетради

Функции преподавателя на данном этапе

Организующая, консультирующая

Промежуточный контроль

Самоконтроль

ЭТАП 6

Подведение итогов. Рефлексия

Обобщить знания учащихся полученные на уроке

Длительность этапа

Форма организации деятельности учащихся

Рефлекторное осмысление

Функции преподавателя на данном этапе

организующая

Итоговый контроль

Оценивание каждого учащегося

ЭТАП 7

Домашнее задание

Закрепление знаний полученных на уроке

Длительность этапа

Основной вид деятельности со средствами ИКТ

Демонстрация презентации (33 слайд)

Форма организации деятельности учащихся

индивидуальная

Функции преподавателя на данном этапе

консультирующая,направляющая

План-конспект урока

Предмет: «Информатика и ИКТ»

Класс: 9

Тема урока: «Логические операции» (1 урок 80 минут)

Цели:

Формирование представления об алгебре высказываний, и основных логических операциях, знакомство с алгоритм построения таблиц истинности.

Задачи:

Обеспечить в ходе урока усвоение и первичное закрепление новых понятий.

Развивать логическое мышление

Развивать умение выделять существенные признаки и свойства.

Формировать коммуникативные навыки.

Воспитывать культуру труда в процессе выполнения письменных работ.

Средства обучения:

ПК;MS Power Point;

Мультимедейный проектор;Принтер.

Информатика и ИКТ. Учебник. 8–9 класс/ Под ред проф. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2007.

Программа по информатике и ИКТ (системно-информационная концепция) к комплекту учебников по информатике и ИКТ 5-11 класс, 2007.

Информатика и ИКТ: Методическое пособие для учителей. Часть 3. Техническое обеспечение информационных технологий/ Под ред проф. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2008.

Этапы урока

1. Организационный момент. Постановка цели урока. 3 мин.

   Актуализация знаний (работа по карточкам). 10 мин.

   Объяснение нового материала. 37 мин.

   Физкультминутка. 3 мин.

   Закрепление новых знаний. 17 мин.

   Подведение итогов. Рефлексия. 7 мин.

   Постановка домашнего задания. 3 мин.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщение темы и постановка целей урока

Здравствуйте ребята!

Сегодня мы продолжим изучение элементов математической логики. Цель нашего урока – познакомиться с основными логическими операциями, научиться строить таблицы истинности для логических высказываний. В конце урока вы выполните практические задания, которые помогут оценить, как вы усвоили новый материал. Надеюсь на взаимопонимание и слаженность в работе.

1. Актуализация знаний

Работа по карточкам

Далее осуществляем контроль знаний по теме «Основные понятия алгебры логики». Работа в парах по вариантам, ответы учащиеся записывают на листок, который предварительно раздаётся учителем. После выполнения заданий идет проверка в парах с оцениванием. Правильные ответы демонстрируются на кадрах презентации.

Образец для 1 варианта.

Вариант 1.

В формальной логике понятием называется

Б) форма мышления, в ко­торой отражаются отличи­тельные существенные признаки предметов или явлений.

В) форма мышления, кото­рая что-либо утверждает или отрицает о предметах, их свойствах или отношениях между ними.

А) А- Река;

Б) А- Школьники;

В- Спортсмены.

В) А- Молочный продукт;

В- Сметана.

А) Число 6 -четное.

Б) Посмотрите на доску.

В) Некоторые медведи бурые.

Определите тип высказывания.

А) Париж-столица Китая.

Б) Некоторые люди являются художниками.

В) Тигр – хищное животное.

Какие из приведенных высказываний являются общими?

Не все книги содержат полезную информацию.

Кошка является домашним животным.

Все солдаты храбрые.

Ни один внимательный человек не совершит оплошность.

Некоторые ученики двоечники.

Все ананасы приятны на вкус.

Мой кот страшный забияка.

Любой неразумный человек ходит на руках.

Образец для 2 варианта.

Вариант 2.

В формальной логике высказыванием называется

А) форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Б) форма мышления, в которой отражаются отличительные существенные признаки предметов или явлений.

В) форма мышления, которая что-либо утверждает или отрицает о предметах, их свойствах или отношениях между ними.

Данная диаграмма Эйлера-Венна иллюстрирует отношения между следующими объёмами понятий :

А) А- Река;

Б) А- Геометрическая фигура - ромб;

В- Геометрическая фигура - прямоугольник.

В) А- Молочный продукт;

В- Сметана.

Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

А) Наполеон был французским императором.

Б) Чему равно расстояние от Земли до Марса?

В) Внимание! Посмотрите направо.

Определите тип высказывания.

А) Все роботы являются машинами.

Б) Киев-столица Украины.

В) Большинство кошек любят рыбу.

Какие из приведенных высказываний являются частными?

Некоторые мои друзья собирают марки.

Все лекарства неприятны на вкус.

Некоторые лекарства приятны на вкус.

А - первая буква в алфавите.

Некоторые медведи - бурые.

Тигр - хищное животное.

У некоторых змей нет ядовитых зубов.

Многие растения обладают целебными свойствами.

Все металлы проводят тепло.

Листок для ответов может выглядеть следующим образом:

1. Объяснение нового материала.

Объектами булевой алгебры являются высказывания. Если высказывания соединяются логическими операциями, то их принято называть логическими выражениями .

В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (подобно тому, как в алгебре чисел определены операции сложения, умножения, деления, возведения в степень над числами). При помощи логических операций над простыми высказываниями получаются составные или сложные высказывания. На естественном языке составные высказывания образуются с помощью союзов.

Например:

Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Рассмотрим основные логические операции.

Логическое отрицание (инверсия)

Логическое отрицание образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» или использования оборота речи «неверно, что …».

Логическое отрицание – одноместная операция, так как в ней участвует одно высказывание (один аргумент).

Операция обозначается частицей НЕ (НЕ А ), знаком: ¬А (¬А) или чертой над обозначением высказывания (Ā).

Пример №1.

А= {Аристотель основоположник логики .}

Ā= {Неверно, что Аристотель основоположник логики .}

Пример №2.

А= {Сейчас идет урок литературы. }

Ā= {Неверно, что сейчас идет урок литературы. }

В результате операции отрицания логическое значение высказывания меняется на противоположное. Исходные выражения принято называть предпосылками .

Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.

Это можно отобразить при помощи таблицы:

Таблица 1.

Таблица со всеми возможными значениями исходных выражений и соответствующими им результатами операции получила название таблицы истинности .

Если обозначить Ложь – 0, а истину – 1, то таблица будет выглядеть так. Как это показано в учебнике на странице 347.

Таблица 2. Таблица истинности операции логического отрицания

Мнемоническое правило : слово «инверсия» означает, что белое меняется на чёрное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль.

Примечания:

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». Это двуместная операция, так как в ней участвуют два высказывания (два аргумента). Операция обозначается союзом ИЛИ, знаком \/, а иногда знаком + (логическое сложение).

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать приём пищи с просмотром телепередач.)

В высказывании Данное существительное во множественном или единственном числе союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция называется строгой дизъюнкцией.

Определите самостоятельно вид дизъюнкции:

Высказывание

Вид дизъюнкции

Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона.

Строгая

Студент едет в электричке или читает книгу.

Нестрогая

Ты выйдешь замуж или за Петю, или за Сашу.

Строгая

Ты женишься на Вале или на Свете

Строгая

Завтра дождь будет или не будет.

Строгая

Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать.

Нестрогая

Учителя бывают или строгие, или не наши.

Нестрогая

Далее будем рассматривать только нестрогую дизъюнкцию. Обозначение: АВ.

Первый признак заболевания фитофторой - серые или коричневые пятна на листьях помидоров.

А = "На листьях появились серые пятна"

B = "На листьях появились коричневые пятна"

C = "Растение заболело фитофторой",

Суждение С =A /\ B .

Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Таблица 3. Таблица истинности операции логического сложения

А В

Мнемоническое правило : дизъюнкция – это логическое сложение и легко заметить, что равенства 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; верные для обычного сложения, верны и для операции дизъюнкции, но 11=1.

Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и ». Это двуместная операция, так как в ней участвуют два высказывания (два аргумента). Операция обозначается союзом И, знаком /\ или &, иногда *(логическое умножение).

Обозначения: А·В; А^В; А&В.

А&В={3+4=8 и 2+2=4}

Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

Таблица 4. Таблица истинности операции логического умножения.

А·/\В

Обратите внимание , что в таблице истинности значения входящих высказываний пишутся по возрастанию.

Мнемоническое правило : конъюнкция – это логическое умножение, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0·0=0; 0·1=0; 1·0=0; 1·1=1, верные для обычного умножения, верны и для операции конъюнкции.

Игра

Вопрос учителя: Один зажиточный человек боялся грабителей и заказал замок, который открывался двумя ключами одновременно. С какой логической операцией можно сравнить процесс открывания?

Ответ ученика: Логическое умножение. Каждый ключ в отдельности не открывает замок. Только использование двух ключей вместе позволяет его открыть.

Вопрос учителя: Мальчик Вася был рассеянным и всегда терял ключи. Только поставят родители новый замок, как находится старый ключ (под ковриком, в кармане, в портфеле). Придумайте «суперзамок» для Васи, чтобы дверь не мог открыть посторонний человек, а Вася - наверняка.

Ответ ученика: Замок с логическим сложением, чтобы он открывался хотя бы одним ока­завшимся под рукой ключом.

Обратите внимание , что операция логического сложения более «сговорчивая» («хотя бы что-нибудь»), а операция логическо­го умножения более «строгая» («все или ничего»). Если учесть этот факт, то легче запомнить знаки логических операций

Операции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции являются основными логическими операциями . Есть и другие (не основ­ные), но их можно выразить через три основные. В качестве приме­ров рассмотрим операции импликации и эквивалентности .

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если….., то…..».

Обозначения: А→В, АВ.

Пример1. А={2·2=4} и В={3·3=10}.

АВ={Если 2·2=4, то 3·3=10 }.

Пример 2. Если выучить материал, то сдашь зачет (высказывание ложно только тогда, когда материал выучен, а зачет не сдан, ведь сдать зачет можно и случайно, например, если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой).

Вывод: Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Таблица 5. Таблица истинности операции логического следования.

АВ

Логическое равенство (эквивалентность)

Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «….тогда и только тогда, когда …».

Обозначение эквивалентности: А=В; АВ; А~В.

Пример 1. А={Угол прямой}; В={Угол равен 90 0 }

АВ={Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90 0 }

Пример 2. Когда в зимний день светит солнце и «кусает» мороз, это значит, что атмосферное давление высокое.

Пример 3. Высказывание А: «сумма цифр, составляющих число х , делится на 3», высказывание В: «х делится па 3». Операция А <=> В означает следующее: «число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится па 3».

Вывод: эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.

Таблица 6. Таблица истинности операции логического равенства.

АВ

Составление таблиц истинности по логической формуле

Из простых высказываний могут быть составлены более сложные высказывания. Эти высказывания подобны математическим формулам. В них, кроме высказываний, обозначаемых прописными латинскими буквами, и знаков логических операций могут присутствовать и скобки.

Приоритет операций:

инверсия;

конъюнкция;

дизъюнкция;

импликация и эквивалентность.

Рассмотрим примеры.

Пример 1 . Дано логическое выражение ¬A V B . Требуется построить таблицу истинности.

Решение

¬ А

¬A V B

Пример 2 . Дано логическое выражение ¬A  B . Требуется построить таблицу истинности.

Решение . Логическое выражение содержит 2 высказывания А, В. Значит таблица истинности будет содержать 2 2 =4 строк возможных сочетаний значений исходных высказываний А и В. Первые два столбца таблицы истинности будут заполнены различными сочетаниями значений аргументов. Далее будут располагаться результаты промежуточных вычислений и конечный результат.

¬ А

¬ A  B

Пример 3 . Дано логическое выражение ¬(A V B ). Требуется построить таблицу истинности.

Решение . Логическое выражение содержит 2 высказывания А, В. Значит таблица истинности будет содержать 2 2 =4 строк возможных сочетаний значений исходных высказываний А и В. Первые два столбца таблицы истинности будут заполнены различными сочетаниями значений аргументов. Далее будут располагаться результаты промежуточных вычислений и конечный результат.

AV B

¬(A V B )

1. Физкультминутка

Для следующей работы нам необходимо сосредоточиться. Выполним несколько упражнений.

1. Закрепление новых знаний.

Для закрепления материала выполняются следующие задания:

1. Ниже приведена таблица, левая колонка которой содержит основные логические союзы (связки), с помощью которых в естественном языке строятся сложные высказывания. Заполните правую колонку таблицы соответствующими названиями логических операций.

В естественном языке

В логике

…..Неверно, что…..

*инверсия

…..в том и только в том случае….

эквивалентность

конъюнкция

конъюнкция

Если…., то…..

*импликация

……однако….

конъюнкция

….тогда и только тогда, когда….

эквивалентность

Либо….либо…

*строгая дизъюнкция

….необходимо и достаточно….

*эквивалентность

Из ………следует….

*импликация

2. Сформулируйте отрицания следующих высказываний:

А) {Неверно, что город Нью-Йорк является столицей США };

Б) {Коля решил все 6 заданий контрольный работы };

В) {Неверно, что число 3 не является делителем числа 198 }.

Решение:

А){ Город Нью-Йорк является столицей США };

Б) {Неверно, что Коля решил все 6 заданий контрольный работы };

В) {Число 3 не является делителем числа 198 }

Найдите значения выражений:

А) ((10)1)1; Решение: ((10)1)1=1;

Урок №5

Тема: Логика и логические операции

Цель урока: Познакомить учащихся с основными понятиями логических операций . Способствовать формированию умения различать виды логических операций , усвоения принципа составления таблиц истинности для логических операций .

Учащиеся должны знать что такое логика, логические операции.

Учащиеся должны уметь: выполнять операции над высказываниями

Ход урока

I . Организационный момент

II . Проверка домашнего задания

Работа с кроссвордом «Перевод чисел с одной СС в другую»

Изучение нового материала

Логика

Логика (от греч. logike) - это наука о способах доказательств.

Логика -это наука о формах и законах человеческого мышления, в частности, о способах доказательств и опровержений.

Высказывание - повествовательное предложение, в котором что- либо утверждается или отрицается.

Пример простых высказываний: «Все сосны являются деревьями». Если высказывание соответствует действительности, оно истинное , а если не соответствует- ложное.

Высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. Например значение выражения А= «Все розы- это цветы» можно записать так: А=1. Значение высказывания В= «Все мухи-это птицы»: В=0. Высказывания могут быть общими (когда речь идет о группе объектов) или частными. Например: « В любом треугольнике сумма углов равна 180 º» - общее высказывание. «Существуют черные кошки с белыми лапами»- частное.

Сложным называется высказывание, состоящее из простых, соединенных каким-либо союзом.

Логические операции

Логическая операция - операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путем соединения более простых.

Существует три базовые логические операции- конъюнкция, дизъюнкция и отрицание (инверсия)

Конъюнкция (логическое умножение)-это двухместная логическая операция, соответствует союзу «И» иначе называется логическим умножением. Обозначается А&В или А˄В.

Например:

А- «Утки зимуют на юге»

В- «Лето утки проводят на севере»

С- «»Утки не совершают перелетов»

А˄В˄С = «Утки не совершают перелетов, и зимуют на юге, и лето проводят на севере»- результат конъюнкции получил ложное высказывание.

Дизъюкция (логическое сложение)-это двухместная логическая операция, соответствует союзу «ИЛИ», иначе называется логическим сложением. Обозначается А˅В.

Например:

А- «Сегодня я жду в гости Петю»

В- «Сегодня я жду в гости Аню»

Соединяем союзом «ИЛИ» получается сложное высказывание- логическая сумма

«Сегодня я жду в гости Петю или Аню» А˅В.

Отрицание (инверсия)- это одноместная логическая операция, соответствует частице «НЕ», иначе называется логическим отрицанием. Обозначается ¬А, Ā.

Например:

Петя будет дежурным – А.

Петя не будет дежурным- Ā- отрицание.

А= «Шесть разделить на два равно трем»-истинное высказывание

Ā= «Шесть разделить на два не равно трем»- логическое отрицание ложно.

IV . Закрепление изученного материала

Из простых высказываний постройте сложные высказывания, используя логические связки «И», «ИЛИ» и определите их истинность.

Например:

А- «Все ученики изучают информатику»

В- «Все ученики изучают иностранный язык»

А˄В= «Все ученики изучают информатику и иностранный язык»

Ербол старше Мадины. Салима старше Мадины

Красный мяч больше зеленого.Красный мяч больше желтого

Завтра пойдет снег.Завтра будет холодно.

Кайрат делает уроки. Кайрат смотрит футбол.

Айгуль обедает. Айгуль учит стихотворение.

Укажите какие высказывания простые, а какие сложные.

Идет урок информатики

Число 3 больше числа 2.

Я смотрел спектакль «Настоящие друзья»

Астана, Париж и Москва- это столицы государств.

Завтра ожидается дождь или мокрый снег.

V. Итоги урока.

Выставление оценок за домашнюю работу

Домашнее задание

Запишите в тетрадь без знака отрицаний: ― (a ).

Повторить конспект и пересказ и выучить определения логических операций.